Задание №81120 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

В кубе Формула точка - середина ребра Плоскость проходит через точки и
а) Докажите, что сечение куба плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки Формула до плоскости если ребро куба равно 6.

Решение:

а) Соединим точки Формула и и и - получим прямые и
Через точку проведём прямую, параллельную - получаем где
Таким образом, - искомое сечение.
- середина (по условию), (по построению).
По теореме Фалеса, Формула - середина
и
( так как - квадрат)
(по 2-ум катетам)
Так как - середина - середина
- средняя линия.
(Так как - диагональ куба).
Следовательно - равнобедренная трапеция. Ч. т. д.
б) В Формула проведем высоту так как - равнобедренный, то - высота, медиана и биссектриса.
НА основаниях трапеции отметим середины, т. е. - середина а - середина Получаем Формула так как - равнобедренная трапеция. Так как то и таким образом перепендикуляр из точки к прямой - искомое расстояние, то есть - искомая прямая.
Найдем Формула - перпендикуляр из прямого угла

По теореме Пифагора

Рассмотрим трапецию Формула

(па);

Проводим и получаем - прямоугольник.

Рассмотрим

По теореме Пифагора:
Следовательно,
Рассмотрим

В - середина
По теореме Пифагора для
Следовательно, Формула
Проведем получаем - прямоугольник, т. е. и

По теореме Пифагора для
Следовательно,