Задание №81117 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

В кубе Формула точка - середина ребра Плоскость проходит через точки и
а) Докажите, что сечение куба плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки Формула до плоскости если ребро куба равно 3.

Решение:

а) Соединим точки Формула и и и - получим прямые и
Через точку проведём прямую, параллельную - получаем где
Таким образом, - искомое сечение.
- середина (по условию), (по построению).
По теореме Фалеса, Формула - середина
и
( так как - квадрат)
(по 2-ум катетам)
Так как - середина - середина
- средняя линия.
(Так как - диагональ куба).
Следовательно - равнобедренная трапеция. Ч. т. д.
б) Продлим плоскости Формула и до пересечения в точке
Проведём
и - диагонали квадрата, следовательно, а т. е (так как )
- продленная таким образом , то есть
Тогда по теореме о трех перпендикулярах Формула
Получаем перпендикуляр к из точки - искомое расстояние, таким образом - искомая сторона.
Так как - перпендикуляр, проведенный из прямого угла
- медиана, высота и биссектриса, значит Формула
По теореме Пифагора:
и
- общий,
(по двум углам)

По теореме Пифагора:
Получаем