Задание №81119 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

В правильной треугольной призме Формула точка – середина ребра Плоскость проходит через точки и
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки Формула до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.

Решение:

а) Соединим точки Формула и Через точку проведём прямую, параллельную - получаем а Получаем - искомое сечение.
Так как - середина (по условию), а (по построению и так как ), то по теореме Фалеса Формула - середина
По условию - правильная треугольная призма, следовательно, и - равносторонние.
Таким образом а
Получаем, что (по двум катетам).
Следовательно, а Формула - средняя линия
Таким образом - равнобедренная трапеция. Ч. т. д.
б) В проведём высоту так как - равносторонний, то - высота, медиана и биссектриса.
На основаниях трапеции отметим середину, т. е Формула - середина а - середина
Получаем, что так как - равнобедренная трапеция.
таким образом перпендикуляр из точки к прямой - искомое расстояние, т. е - искомая сторона.
Рассмотрим Формула
По теореме Пифагора:
Рассмотрим по теореме Пифагора:
Рассмотрим трапецию

(па);

Проводим и получаем - прямоугольник.

Рассмотрим

По теореме Пифагора:
Следовательно, Формула
Рассмотрим

В - середина
По теореме Пифагора для
Следовательно,
Проведем получаем - прямоугольник, т. е. и

По теореме Пифагора для
Следовательно,