Задание №38459 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
У правильной треугольной призмы  в основаниях лежат равносторонние треугольники (все стороны которых равны, углы между сторонами основания составляют 60°) 
Что бы построить плоскость  проходящую через точки и параллельно прямой достроим правильную треугольную призму  до четырёхугольной призмы  так что:
Проведём в прямоугольнике диагональ Проведём в прямую которая так же будет являться средней линией (т. к. К середина значит, и М середина ). Соединив точки получим плоскость  которая делит ребро на две части в точке Р.

а) Доказать:

подобен по двум равным углам: как вертикальные,
как накрест лежащие при  и секущей Соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

В данной призме стороны тогда отношение принимает вид:

Зная, что КМ средняя линия, то тогда:

Подставим в отношение:

Что и требовалось доказать.

б)  Найти: расстояние  от точки  до плоскости 

Искомое расстояние h будет являться высотой пирамиды Выразим объём данной пирамиды 2 способами (через разные высоты) и найдём от туда h:



Все рёбра в данной четырёхугольной призме равны 6. и  как половины равных сторон.
По теореме Пифагора в прямоугольном  найдём гипотенузу МК:

Найдем 
По теореме косинусов для найдём 



Проверим по обратной теореме Пифагора 




Верно, значит, прямоугольный с прямым
Подставляем найденные значения и находим искомое расстояние h:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко