Задание №19291 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) 1) Центр описанной около правильного треугольника окружности — точка пересечения медиан.  — медианы оснований. По свойству медиан треугольника
2) FM — линия пересечения плоскостей a L — точка пересечения прямых   так как Тогда  В равнобедренном треугольнике AMB ( так как призма по условию правильная) точка L делит медиану FM в отношении считая от точки F, прямая содержит точку пересечения медиан треугольника ABM. 

б) 1) Введем систему координат из точки F (как показано на рисунке). Тогда координаты точек:   
2) Пусть плоскость ABM задана уравнением  поскольку начало координат, точка F, принадлежит этой плоскости. Коэффициенты A, B и C находим из системы:
 отсюда  Тогда уравнение плоскости
3) Найдем расстояние от точки до плоскости: 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)