- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 79418
Задание №79418 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания 
вписан шар. Плоскость 
перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину.
а) Докажите, что плоскость 
и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости 
Решение:
а) Доказать: 
пересекает шар более чем в одной точке.
Проведём 
и 
- высоты, биссектрисы и медианы 
- высота пирамиды 
так как 
Если 
плоскость 
будет пересекать шар по окружности 
будет более одной точки пересечения.
Если плоскость будет касаться шара будет одна точка пересечения.
Если 
плоскость не будет пересекать шар.
Пусть 
- середина высоты 
Так как 
- равносторонний 
по свойству медианы в равностороннем треугольнике: 
По теореме Пифагора для 
по теореме Пифагора для 
Так как 
и 
- касательные к окружности 
Так как - касательная к окружности 
По теореме Пифагора для 
Сравним: 
Что и требовалось доказать.
б) Найти: 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко