Задание №38223 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) По условию призма треугольная и правильная, значит, в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны  Так же по условию обозначим:




Спроецируем точку  на прямую  тогда   является серединой  Проведем 

Рассмотрим 

В нем найдем  и 


Заметим:



По теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), следует 
- это проекция  на плоскость значит, 
Из  и  следует, что  отсюда  плоскость 
Что и требовалось доказать.

б) Найти расстояние от точки  до плоскости   
Найдем, чему в наших обозначениях равен 



по построению является медианой, а значит, и высотой в равностороннем  т. к.  то 
Построим искомое расстояние от точки  до плоскости  это прямая  перпендикулярная двум прямым плоскости, прямой  и 

Рассмотрим 




подобен  (по двум равным углам:  общий, ), стороны пропорциональны, найдем 






В прямоугольном  по теореме Пифагора найдем гипотенузу 

Найдем высоту  в прямоугольном 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко