Банк заданий ЕГЭ-2025: Математика (профиль)

Найдите корень уравнения

В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

В треугольнике со сторонами 12 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Найдите значение выражения

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону где m₀ – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 34 часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

На рисунке изображен график вида  Найдите значение

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [2; 32].

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. 
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая касается первой окружности в точке а второй – в точке Прямая пересекает первую окружность в точке прямая пересекает вторую окружность в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Найдите все положительные значения  при каждом из которых система

имеет единственное решение.