- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 80092
Задание №80092 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основанием пирамиды 
является правильный треугольник 
со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах 
и 
отмечены соответственно точки 
и 
так, что 
Через точки 
и 
проведена плоскость 
перпендикулярная плоскости 
а) Докажите, что плоскость 
делит медиану 
в отношении 2:7.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Решение:
Построим сечение: соединим точки и получим 
Так как 
(условие) 
Из точки 
проведем 
- высота пирамиды. Так как 
- равносторонний треугольник, то 
лежит на высоте 
которая является и медианой и биссектрисой.
Соединим 
из точки 
проведем 
таким образом 
и 
Через точку 
проведем прямую 
которая 
так как 
то и 
Получаем 
- сечение 
Таким образом 
то 
так как 
Рассмотрим 
- высота и медиана, следовательно по теорме Пифагора:
Так как 
- центр равностороннего треугольника, то по свойству медиан:
Так как 
то и 
Что и требовалось доказать.
б) Расстояние от точки 
до 
это 
так как 
а 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко