- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 17955
Задание №17955 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной призме 
сторона основания равна 
а боковое ребро равно 
На ребре 
отмечена точка 
причём 
a) Точки 
и 
— центры окружностей, описанных около треугольников 
и 
соответственно. Докажите, что прямая 
содержит точку пересечения медиан треугольника 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Решение:
a) Центр описанной около правильного треугольника окружности — точка пересечения медиан. 
и 
— медианы оснований. По свойству медиан треугольника 
— линия пересечения плоскостей 
и 
a 
— точка пересечения прямых 
и 
так как 
Тогда 
В равнобедренном треугольнике (
так как призма по условию правильная) точка делит медиану в отношении 
считая от точки 
прямая содержит точку пересечения медиан треугольника 
б) Введём систему координат, как это показано на рисунке. 
Пусть плоскость 
задана уравнением 
поскольку начало координат, точка принадлежит этой плоскости. Коэффициенты 
и 
находим из системы
Расстояние от точки 
до плоскости равно 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)