- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77526
Задание №77526 ЕГЭ по Математике (профиль)
В основании правильной треугольной пирамиды 
лежит треугольник 
со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
Через точку парралельно прямым 
и 
проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение:
- правильная треугольная пирамида.
а) 1) 
(по условию).
Проведем через точку 
прямую, параллельную 
получаем прямую 
Соединим точки 
и 
получим 
2) 
- равносторонний, 
3) Так как 
(теорема о пропорциональных отрезках)
Так как 
(теорема о пропорциональных отрезках)
Так как 
(теорема о пропорциональных отрезках)
и так как 
- параллелограмм (по определению).
4) Проведем высоту в треугольнике 
и 
высоту в 
(по теореме о трех перпендикулярах).
5) Так как 
6) Так как 
- параллелограмм и углы прямые
- прямоугольник.
б) 7) 
- общий
(по признаку)
8) 
- общий
(по признаку)
Ответ: 10
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)