- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76453
Задание №76453 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильном тетраэдре 
точки 
и 
- середины рёбер 
и 
соответственно. Плоскость 
перпендикулярна прямой 
и пересекает ребро 
в точке 
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна рёбрам 
и 
б) Найдите площадь сечения тетраэдра 
плоскостью 
если известно, что 
Решение:
а) В треугольнике 
имеем: 
Следовательно, он равнобедренный с основанием 
а его медиана 
перпендикулярна ребру 
Аналогично прямая 
перпендикулярна ребру 
б) Плоскость 
перпендикулярная прямой 
параллельна прямым 
и 
поскольку эти прямые перпендикулярны прямой 
Обозначим точки пересечения рёбер 
и 
с плоскостью 
через 
и 
соответственно. Тогда четырёхугольник 
является прямоугольником, поскольку его стороны 
и 
параллельны ребру 
стороны 
и 
параллельны ребру 
а прямые 
и 
перпендикулярны.
Треугольники 
и 
равносторонние. Следовательно, 
а площадь прямоугольника 
равна 
Ответ: б) 3
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)