Задание №38005 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Проведем Отметим на  точку  так, что  Тогда  - параллелограмм, откуда Следовательно,  Пусть Тогда так как  то  Следовательно,

По теореме Менелая для и прямой 



Следовательно, точка - середина отрезка  Что и требовалось доказать.

б) Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то Значит, сечение  - трапеция.
Пусть - середина Тогда  - средняя линия в значит,  
Но так как то  Тогда так как точки  и  - середины и  соответственно, то
Так как то  Следовательно, так как  то  Значит,  - параллелограмм, значит,
Следовательно,  - середина 
По теореме косинусов для 

Таким образом,
Тогда 
Также имеем:


Следовательно, по теореме косинусов для  имеем:

Таким образом,

Путь Тогда  - высота сечения. Из 

Значит, искомая площадь сечения равна:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 441

Источник: Сборник И.В. Ященко