- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38031
Задание №38031 ЕГЭ по Математике (профиль)
В основании пирамиды 
лежит трапеция 
с большим основанием 
Диагонали трапеции пересекаются в точке 
Точки 
и 
— середины боковых сторон 
и 
соответственно. Плоскость 
проходит через точки M и N параллельно прямой 
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 
если 
а прямая 
перпендикулярна прямой
Решение:
а) Пусть 
пересекает диагонали 
и 
в точках 
и 
соответственно. Так как 
то 
пересечет плоскости, в которых находится 
по прямым, параллельным Следовательно, проведем в плоскостях 
и 
прямые 
(см.рис.). Получим сечение пирамиды плоскостью - четырехугольник 
Так как 
то 
следовательно, пересечет плоскость 
в которой лежит 
по прямой, параллельной 
Следовательно, 
Осталось доказать, что 
По теореме Фалеса 
и 
- середины диагоналей. Следовательно, 
(
- общий, 
как соответственные при 
и секущей 
). Следовательно,
(
- общий, 
как соответственные при 
и секущей 
). Следовательно,
Так как 
— средняя линия трапеции 
то
Следовательно, 
то есть 
значит, 
- трапеция.
б) Проведём 
Так как 
и, поскольку 
перпендикулярно 
также перпендикулярно 
и параллельной ей 
То есть 
- высота трапеции 
По свойству средней линии трапеции, она делит диагонали трапеции пополам. То есть 
- средняя линия треугольника 
Аналогично на второй диагонали поставим точку 
и 
также равно 3,75. Если достроить 
- высоту трапеции, то получаем прямоугольник 
То есть, 
Осталось вычислить высоту трапеции 
Вспомним другое правило диагоналей трапеции - треугольники 
и 
подобны. Коэффициент подобия тогда равен 
Пусть 
Тогда 
Теперь рассмотрим треугольники 
и 
Они также подобны.
Найдём площадь трапеции по формуле.
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 26
Источник: Сборник И.В. Ященко