- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37439
Задание №37439 ЕГЭ по Математике (профиль)
В основании прямой призмы 
лежит параллелограм ABCD. На рёбрах 
и 
отмечены точки М, К и N соответственно, причём 
Четырёхугольник АМКN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N — середина ребра ВС.
б) Найдите площадь трапеции АМКN, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Решение:
а) Т.к. 
, то 
Т.к. 
(основания прямой призмы одинаковы) и 
(AMKN – равнобедренная трапеция), то MK и AN отсекают пропорциональные отрезки 
и 
и 
(теорема Фалеса).
Отсюда 
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: 
Если 
, то 
Следовательно, 
– середина 
.
б) Найдем площадь параллелограмма 
(основания призмы). 
Т.к. 
– середина ВС, то 
(Наглядно это можно увидеть на рисунке и, в принципе, доказать. Все четыре треугольника будут равны по трем сторонам)
Проведем высоты 
.
Т.к. 
, то 
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
. Проведем в ней высоту 
Найдем 
.
В треугольнике HH1L : 
. По теореме Пифагора
– высота трапеции 
, т.к. по теореме о трех перпендикулярах 
Найдем площадь трапеции 
: 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко