Задание №37975 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть плоскость α пересекает прямые и в точках и соответственно.

Отрезок - средняя линия трапеции значит, он параллелен её основанию Значит, плоскость параллельна прямой и пересекает плоскость по прямой, параллельной Плоскость α, параллельная прямой пересекает ребро в точке а ребро - в точке Значит, сечением пирамиды плоскостью α является многоугольник у которого стороны и параллельны.
Прямые и параллельны прямой поскольку являются прямыми пересечений плоскости с плоскостями и содержащими прямую параллельную плоскости Следовательно, четырёхугольник - параллелограмм, а значит,  (точки и - середины диагоналей и соответственно).
Таким образом, многоугольник - трапеция.
б) Прямая перпендикулярна прямой прямые и параллельны, прямые и параллельны, значит, отрезок перпендикулярен отрезку и является высотой трапеции

В трапеции  

Рассмотрим плоскость Прямые и параллельны, значит,  

Площадь трапеции равна:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 24

Источник: Сборник И.В. Ященко