Задание №38280 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
1) Пусть  - правильная треугольная пирамида с основанием По свойству правильной пирамиды центр  вписанного в нее шара лежит на ее высоте  Пусть  - высота основания, - середина высоты 
Плоскость пересекает шар в более чем одной точке, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара. Так как  то  следовательно, требуется доказать, что  Это равносильно тому, что 

Высота правильного треугольника со стороной  равна  следовательно,  Тогда по теореме Пифагора  Так как  то по теореме Пифагора  Рассмотрим  - радиусы шара. Так как  то

Так как  то  Чтд.

б) Сечение шара плоскостью  - окружность с центром в точке  радиуса   Рассмотрим прямоугольный 

Следовательно, площадь сечения равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко