Задание №38293 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть  - высота пирамиды  Так как эта пирамида правильная, то  - точка пересечения диагоналей квадрата
Так как  то  перпендикулярна любой прямой из  Следовательно,  Пусть 
Так как   то по теореме о трех перпендикулярах  Проведем через точку  прямую  (см. рис.). Тогда  Следовательно,  - сечение пирамиды плоскостью  Также по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно, так как  то диагонали сечения  и  перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Так как диагонали сечения  взаимно перпендикулярны, то площадь сечения можно искать по формуле

По условию  а  Следовательно,  Следовательно,  Значит,  равносторонний. Тогда

Так как  равносторонний, то  и  - не только высоты, но и медианы этого треугольника. Следовательно, точкой пересечения они делятся в отношении считая от вершины. Тогда

 следовательно,

Тогда искомая площадь равна

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко