Задание №38032 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) По условию задания  Пусть  следовательно,  Так как призма правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник и 
Рассмотрим треугольник По теореме косинусов длина отрезка равна:





Сделаем дополнительное построение - отрезок  и  который будет являться и медианой треугольника (так как треугольник равносторонний). Следовательно, точка - середина отрезка
Так как основания призмы параллельны, то сечение проходит через прямую такую, что  и  Учитывая, что - середина то точка - середина

б) Сечение  - трапеция, так как  Отрезки    

Проведем высоты  Пусть  тогда:
Из прямоугольных треугольников:  или 
Из прямоугольного треугольника BB1N (см. рисунок призмы) найдем:
Из прямоугольного треугольника PMH, имеем:
Следовательно:  или 
Приравниваем эти выражения, получаем:


Значит,  и  следовательно, высота сечения и

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко