Задание №38105 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Проведем диагонали основания и  пересекающиеся в точке  а также отметим точки  и  - середины ребер  и  соответственно. Тогда 
Рассмотрим плоскость Прямая  пересекает эту плоскость в точке  лежащей на отрезке  Проведем через точку  отрезок  Тогда  Следовательно,  Значит, требуется доказать, что 
Так как - средняя линия в то  Тогда по теореме Фалеса  откуда следует, что  - середина  Значит,  А так как  то теореме Фалеса  Что и требовалось доказать.

б) Пусть Так как плоскость  проходит через  и  то  Следовательно, плоскость  пересекает плоскость  по прямой  проходящей через точку  и параллельной  Тогда  - сечение пирамиды плоскостью 
Так как то по теореме о трех перпендикулярах  Значит, так как  то верно следующее:  Также, так как  то  пересечет плоскости, в которых лежит  по прямым, параллельным  Значит, 
Следовательно, сечение состоит из двух многоугольников: прямоугольника и равнобедренного  (ребра  и  равны, так как равны прямоугольные  и по теореме Фалеса  и  - середины  и  соответственно, значит, ).
Найдем необходимые длины отрезков:





Тогда

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 12,5

Источник: Сборник И.В. Ященко