Задание №77314 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Через точку  проведем прямую  причем  - середина Точка  - середина основания через точку  проведем прямую параллельную  и пусть прямая пересекает нижнее основание в точке 
Заметим, что плоскость  содержит   - это часть  следовательно плоскость содержит прямую  т. е точка  принадлежит плоскости  Что и требовалось доказать.
б) Через точку  проведем прямую  причем  - середина  соединим  получаем  - искомое сечение.
- равнобедренная трапеция (так как  (по двум катетам)).

Рассмотрим 


По теореме Пифагора:

  (из равенства треугольников).
Рассмотрим 
по теореме Пифагора: 

Так как  - средняя линия  ( - середина   - середина 
( так как  - куб)

Рассмотрим трапецию 

Из точек  и  проведем перпендикуляры  и 
таким образом 
Рассмотрим 

- а это высота трапеции.
Получаем:
 

Ответ: б) 10,125

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)