Задание №76811 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) В треугольнике  проведем высоту  так как по условию  - правильная пирамида, следовательно  тогда их высоты равны и совпадают в точке  (т. е  и ) таким образом 

Также точка  лежит в плоскости  так как является точкой пересечения диагоналей, следовательно принадлежит плоскости  то есть плоскости  что и требовалось доказать.
б) Так как  - основание правильной четырехугольной пирамиды, следовательно - квадрат, тогда  а по теореме Пифагора в 
 и так как  - центр, значит диагонали точки пересечения делятся пополам, таким образом 
(условие)
Так как  - прямоугольный: по теореме Пифагора:

По свойству прямоугольного треугольника: 
Найдем 
Тогда: 

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)