- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76756
Задание №76756 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 7. На ребре 
отмечена точка 
а на продолжении ребра 
за точку 
- точка 
так, что 
а) Докажите, что сечение пирамиды 
плоскостью 
является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды 
плоскостью 
Решение:
а) Пусть продолжение 
пересекает 
в точке 
По теореме Менелая для 
и прямой 
так как по условию 
правильный треугольник, то основание правильного треугольика, получаем 
тогда 
.
Следовательно так как 
тогда 
Рассмотрим 
и 
тогда 
получаем 
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) 
проведем 
Так как 
то и 
По теореме косинусов в 
По теореме косинусов в 
Так как 
- правильный, то углы равны: получаем 
По теореме косинусов для 
Так как 
- высота в равнобедренном треугольнике, то 
- середина 
тогда по теореме Пифагора в 
Тогда 
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)