Задание №64670 ЕГЭ по Математике (профиль)
Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Решение:
а) Да, например, если трёхзначным будет число 270, а четырёхзначным — число 1935. Тогда их сумма будет равна:
Заметим, что 
, а 
б) Если оба числа кратны 45, то и их сумма будет кратна 45. В частности, она также будет кратна 9. Но число 3435 не делится на 9: 
Значит, эта сумма не может быть равна 3435.
в) По признаку делимости на 5, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5. Оба числа из условия должны делиться на 5, так как они делятся на 45. Тогда в одном из них на конце стоит 0, а в другом — 5. По признаку делимости на 9, если число делится на 9, то и его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна: 
Тогда у одного числа сумма цифр будет равна 18, а у другого — 9, потому что обе эти суммы должны быть больше 0.
Заметим, что если в числе есть 9, то в нем еще есть хотя бы одна ненулевая цифра, то есть сумма его цифр больше 9, а значит равна 18.
Если цифра 9 входит в трёхзначное число, то вторая цифра (не по счёту) у него либо 0, либо 5, но в таком случае третья должна быть либо 9, либо 4. Таких цифр нет, поэтому 9 содержится в четырёхзначном числе. Тогда есть два варианта: либо в четырёхзначном числе есть 9 и 0, либо — 9 и 5.
1) Если есть 9 и 0, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 7 и 2. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9720. Тогда трёхзначное число состоит из цифр 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 315. Тогда сумма этих чисел: 
2) Если есть 9 и 5, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 3 и 1. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9315. Тогда трёхзначное число состоит из цифр 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 720. Тогда сумма этих чисел: 
Значит, максимально возможная сумма чисел равна 10035.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)