Задание №80062 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Для получаем где число - это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40, а - это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40. Тогда число делится на но не делится на а число делится на но не делится на 5. Значит, число делится на но не делится на и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 9 нулями.
б) Для получаем где число - это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99, а - это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99.
Тогда число где число не делится на 5. Следовательно, число делится на но не делится на При этом число делится на но не делится на 5. Значит, число делится на но не делится на и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 22 нулями. Поэтому десятичная запись числа при не может оканчиваться ровно 23 нулями, а при число делится на и, следовательно, десятичная запись числа оканчивается более чем 23 нулями. Следовательно, таких чисел не бывает.
в) Для каждого действительного числа обозначим через наибольшее целое число, не превосходящее Тогда для любого натурального числа и любого просто числа  среди чисел найдется ровно  чисел, кратных  и  чисел, кратных 
Поскольку при ни одно из чисел не кратно то получаем, что число делится на и на но не делится на

Для любого натурального числа меньшего 100, получаем:

и 

Значит, для каждого такого десятичная запись числа оканчивается ровно нулями.
Число равно 20 при кратных 5, и равно 19 при не кратных 5.

Число равно 4 при кратных 25, и равно 3 при не кратных 25.

Значит, для числа получили:

при кратных 25,
при кратных 5, но не кратных 25,
при не кратных 5.

Следовательно, натуральное число меньшее 100, будет искомым тогда и только тогда, когда оно кратно 5, но не кратно 25.

Источник: Сборник И.В. Ященко