Задание №76632 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Чтобы у числа было 7 делителей надо какое-то число возвести в 6 степень.
Значит может быть 7 натуральных делителей.
б) Любое число можно разложить на простые множители в следующем виде: и тогда количество делителей у этого числа будет:
Тогда, чтобы было 25 делителей надо, чтобы число причем но если мы рассмотрим самое маленькое из возможных то значит не равно Рассмотрим Тогда что больше 1000, поэтому не может быть 25 делителей.
в) Чтобы было как можно делителей надо увеличить число множителей, потому что, если мы добавим один новый множитель, то количество делителей увеличиться в 2, а если будем увеличивать степень числа, то количество делителей увеличиться на 1.
Разберем на примере:
У 512 десять делителей.
У 768 восемнадцать делителей.
Рассмотрим число будет 16 делителей.
Рассмотрим число тогда будет 32 делителя.

Ответ: а) да (например, число 729), б) нет; в) 32

Источник: Сборник И.В. Ященко