Задание №79195 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Распишем последовательность чисел в порядке возрастания:

По условию сумма любых трех чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора. Рассмотрим крайний случай, так как если он возможен, то условие выполняется и для всех остальных чисел:

Пусть наш набор чисел начинается с -300:

Получаем:


Да, может:  
б) Рассмотрим последовательность чисел начиная с -1000 (так как необходимо, чтобы правая часть была меньше левой (более отрицательна)) и последнее число в последовательности равно 300:

Получаем:


Да, может:  
в) Чтобы выполнялось условие задачи необходимо, чтобы было некое количество отрицательных чисел, поэтому нужно максимизировать сумму, подобрав числа так, чтобы ограничение ещё выполнялось. А сумма будет наибольшей, когда числа находятся в арифметической прогрессией с наименьшим шагом, то есть последовательные числа, находящиеся максимально близко друг к другу.
Запишем последовательность в общем виде:

Получаем:



→ максимальное (так как по условию у нас целые числа).
Рассмотрим последовательность чисел начиная с - 117:

Проверим условие:
Получаем:

- условие выполнено.
Найдем сумму чисел для нашей последовательности максимальных чисел:

Но если изменить последнее значение с -68 на -67, получим:

- условие выполнено (больше увеличивать числа в последовательности нельзя, так как данное условие больше не будет выполняться).
Сумма чисел равна:

Получаем, что наибольшая сумма чисел данного набора равна -4624.

Ответ: а) да; б) да; в) -4624

Источник: Сборник И.В. Ященко