Задание №62246 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Нет. Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа имеет такой же остаток от деления на 9, какой он был у исходного числа. Поэтому если из любого числа вычесть сумму его цифр, то полученная разность будет делиться на 9. Следовательно, при делении на 9 получится только целое число.
б) Нет. Пусть  - исходное трехзначное число,  - его сумма цифр. Тогда

Отсюда  но это значит, что в  есть хотя бы одна цифра 9, и еще цифра, равная либо 8, либо 9 – то есть,  Но в таком случае можно точнее оценить 

Это значит, что остается два варианта: 998 и 999. Проверим:


Таким образом, такого  нет.
в) Пусть не оканчивается на 9. Тогда  Это значит, что результат операции для чисел  и  будет один и тот же, так как:

Таким образом, если числа отличаются только последней цифрой, то результат операции для них будет один и тот же. Поэтому достаточно рассмотреть результаты для чисел 400, 410, 420, ..., 490. Чтобы не считать их вручную, рассмотрим числа, отличающиеся второй цифрой:  и  Если вторая цифра  не 9, то сумма цифр отличается
на 1, т. е.  Имеем

Это значит, что в наборе чисел 400, 410, 420, ..., 490 результат каждого числа больше результата предыдущего на 1. Итого имеем 10 различных результатов.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10

Источник: NeoFamily