Задание №60314 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Свойства чисел

Раздел: Задачи на теорию чисел

19 линия

Не выполнено

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 56?
б) Может ли это отношение быть равным 88?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

Решение:
а) Да, например Формула
Ответ: да, может
б) Нет, не может.
Пусть наше число тогда оно равно Тогда

4 и 26 делятся на 2, но 29 не делится на 2, значит, z делится на 2. Тогда либо либо Но, если Формула то (т.к. ); - невозможно. Значит но тогда Если то и и число не трехзначное, если то x - нецелое, а если , то - невозможно. Значит, отношение не может быть равным 88.
в) Первая цифра натурального трехзначного числа Формула Получаем выражение для отношения:
Отсюда видно, чтобы это выражение было минимальным, цифра b должна быть как можно меньше, а c – как можно больше. Будем действовать полным перебором, начиная с Формула и Получаем наименьшее значение 26 при цифрах:

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 26

Источник: NeoFamily