Задание №79199 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, пример

б) Если первое исходное число кратно 3, то сумма цифр кратна 3, и удвоенная сумма цифр кратна 3. И сумма утроенной суммы второго числа кратна 3. Тогда общая сумма этих чисел кратна 3. Но 2026 не кратно 3, возникает противоречие
то 

Если первое исходное число при делении на 3 дает остаток 1, то сумма цифр при делении на 3 дает остаток 1, и удвоенная сумма цифр при делении на 3 дает остаток 2. И сумма утроенной суммы второго числа кратна 3. Тогда общая сумма этих чисел кратна 3. Но 2026 некратно 3, а значит это невозможно
то 

Если первое исходное число при делении на 3 дает остаток 2, то сумма цифр при делении на 3 дает остаток 2, и удвоенная сумма цифр кратна 4. И сумма утроенной суммы второго числа кратна 3. Тогда общая сумма этих чисел кратно 3. Но 2026 не кратно 3, а значит это невозможно
то 

в) 




Левая сторона четная, значит  равно четному числу.
Нам нужно  значит


Числа с суммой цифр 2: 1001; 1010; 1100; 2000 - 4 штуки.
Найдем количество четырехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11. Если сумма первых двух цифр равна 1 то таких чисел девять: 1019б 1028, 1037, ..., 1091. Если сумма первых двух цифр ранна 2 (1+1 или 2+0), то таких чисел два набора по десять: 1109, 1118, ..., 1190, а также: 2009, 2018,... 2090. Если сумма первых двух цифр равна 3 ( или ), то таких чисел три набора по девять чисел. Рассуждая аналогично, получаем, что если сумма первых двух цифр равна 4, 5, .., 11, то таких чисел соответственно четыре набора по 8, пять наборов по 7, шесть наборов по 6, семь наборов по 5, восемь наборов по 4, девять наборов по 3, девять наборов по 2 и восемь наборов по 1.
Таким образом, количество четырехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых райна 11, равно

Найдём количество четырёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20. Аналогично получаем:

Общее количество чисел: 

Ответ: а) да; б) нет; в) 880

Источник: Сборник И.В. Ященко