Задание №60312 ЕГЭ по Математике (профиль)
Ксюша режет ленту на части. За одно действие она может отрезать от любого количества лент равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Ксюша отрезать от 32 см ленты за 5 отрезов ленту в 1 см?
б) Может ли Ксюша за 6 ходов отрезать ленту в 1 см от ленты в 1 м?
в) За какое наименьшее количество отрезов Ксюша может отрезать 1 см ленты от изначальной в 280 см?
Решение:
а) Да, может. Сначала Ксюша отрежет 16 см от 32, потом 8 от 16, 4 от 8, 2 от 4, и на пятый отрез 1 от 2.
б) Нет, не может. В начале хода имеется какое-то количество лент. Если разрезать все ленты на 2 равные части, то число лент увеличится в два раза. Т.е. за один ход количество лент может увеличиться не более, чем в два раза. В начале у Ксюши одна лента, потом 2, потом 4 и т.д. Значит, через 6 ходов будет не более 
части, а нужно получить 100 частей по 1 см.
в) Из рассуждений из пункта б) следует, что получится это сделать не менее, чем за 8 ходов 
Покажем, как это сделать за 9 ходов.
1 ход: 280, отрезаем у всех по 140 см; две ленты по 140 см,
2 ход: отрезаем у всех по 70 см; 4 ленты по 70 см,
3 ход: отрезаем у всех по 35 см; 8 лент по 35 см,
4 ход: отрезаем у всех по 18 см, 8 лент по 18 см, 8 по 17 см,
5 ход: отрезаем у всех по 9 см; 24 ленты по 9 см; 8 лент по 8 см,
6 ход: отрезаем у всех по 5 см, 32 по 5 см, 24 по 4 см, 8 по 3 см,
7 ход: отрезаем у всех по 2 см, 88 по 2 см, 32 по 3 см, 8 по 1 см,
8 ход: отрезаем у лент, которые больше 1 см по 1 см, 216 лент по 1 см, 32 по 2 см,
9 ход разрезаем от оставшихся лент по 1 см 280 лент по 1 см.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 9
Источник: NeoFamily