Задание №45574 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Заметим, что треугольники SNK и MNK равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SZ и MZ к этому основанию. Они попадут в одну точку Z, которая является серединой NK и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая NK перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости MSZ, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая NK перпендикулярна любой прямой плоскости MSZ. В частности, перпендикулярна прямой SM.

б)  Построим высоту ZF треугольника MSZ. Заметим, что ZF является общим перпендикуляром прямых MS (по построению) и NK, поскольку ZF лежит в плоскости MSZ. Тогда длина ZF и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми MS и NK. Заметим, что  тогда треугольник SMZ равнобедренный, его высота ZF является также медианой, а тогда из прямоугольного треугольника MZF находим 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Источник: NeoFamily