Задание №38139 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Расстояние между прямыми и плоскостями

Раздел: Стереометрия второй части

14 линия

Не выполнено

Существует некоторая детская игрушка в виде призмы Формула которая является правильной. В основании такой призмы лежит треугольник CMP. На прямой существует такая точка K, что является серединой CK. На прямой отмечена точка F такая, что Формула является серединой
а) Докажите, что прямые и KF перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми СМ и KF, если

Решение:

а) Прямая CK перпендикулярна Формула поэтому проекцией прямой КЕ на эту плоскость является прямая Следует заметить, что в треугольнике медиана равна половине стороны поэтому треугольник прямоугольный с прямым углом Формула Отсюда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что ребро перпендикулярно прямой KE.

б) В прямоугольном треугольнике Формула найдем катет Пусть точка D является пересечением прямой КЕ и плоскости СМР. Тогда отрезки CD и параллельны, следовательно, по теореме о средней линии треугольника. Так как Формула угол прямой, следовательно, прямая CM перпендикулярна плоскости CKE, поэтому расстояние между прямыми KE и CM равно расстоянию между точкой C и прямой КЕ, то есть высоте CF прямоугольного треугольника с катетами Формула и После уже вычислим расстояние между прямыми СМ и КЕ:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) Формула

Источник: NeoFamily