Задание №64658 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
a) Рассмотрим треугольники ADM и MA₁B₁. Так как в сечении ромб, В₁M = MD. Так как призма правильная, в основании лежит квадрат, AD = A₁B_1. Так как призма правильная, она является прямой (углы между основаниями и боковыми гранями прямые).
Таким образом, имеем прямоугольные треугольники с равными катетами и гипотенузой. Треугольники равны, значит, AM = A₁M, следовательно M – середина АА₁, что и требовалось доказать.

б) Площадь проекции на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между ними. Собственно, начальный многоугольник – ромб, а его проекция – квадрат в основании. Выразим косинус угла между ними:

Рассмотрим треугольник B₁BD. BD – диагональ квадрата в основании.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)