Задание №60013 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Так как в прямой призме  то точка при проекции на () падает в точку а отрезок падает на  Мы знаем, что  По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, тоже будет  Мы получили, что диагонали прямоугольника перпендикулярны, но тогда квадрат. Следовательно, 

б) Найдем расстояние между и Так как перпендикулярен и  и то  Пусть Опустим перпендикуляр  в плоскости (). Тогда еще и , так как перпендикулярен любой прямой в плоскости Значит, что расстояние между и равно отрезку Следовательно,
Так как  то  Это значит, что равнобедренный треугольник с основанием , а его высота является также медианой. Кроме того,  тогда по теореме о трех перпендикулярах  а значит еще и прямоугольный с прямым углом В нём является медианой, а медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть 

Осталось заметить, что является средней линией так как середина и  Значит,  а  Теперь можно вычислить площадь как

Ответ: б) 4

Источник: NeoFamily