Задание №17980 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) 1) Точка О - проекция вершины S и середина гипотенузы AB, тогда CO - медиана. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Тогда 
2) CO и AO - проекции наклонных SC и SA. Эти наклонные равны, так как их проекции равны. - чтд.

б) 1) AC - общее ребро плоскостей SAC и ABC. Проведем к нему перпендикуляры.  в плоскости SAC, причем K - середина AC, так как треугольник SAC - равнобедренный ().  в плоскости ABC, причем  и OK будет средней линией треугольника ABC. Тогда  - искомый угол.
2)  так как O - середина АВ. В треугольнике SOA по теореме Пифагора найдем   
3) Треугольник ABC - прямоугольный. По теореме Пифагора найдем   Тогда - как средняя линия треугольника ABC.
4) Рассмотрим SOK. Он прямоугольный,

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)