Задание №60322 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) 1) Спроецируем точку D₁ на нижнее основание куба и получим точку D, так как D₁D перпендикулярно нижней
грани куба. Таким образом, проекцией BD₁ будет BD.
2) Из того, что диагонали АС и ВD квадрата АВСD перпендикулярны, по теореме о трех перпендикулярах следует перпендикулярность АС и BD₁.

б) 1) Пусть К — точка пересечения диагоналей нижнего основания.
2) Рассмотрим плоскость BDD₁. Она пересекает АС в точке К. Заметим, что она перпендикулярна прямой АС (так как  и по пункту а). Тогда в этой плоскости построим КН - перпендикуляр к BD₁. Получим, что раз плоскость BDD₁ перпендикулярна прямой АС, то Следовательно, НК - общий перпендикуляр к прямым АС и BD₁. Таким образом, расстояние между АС и BD₁- это длина НК.

3) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВD находим  (из этого  т.к. ABCD - квадрат).
4) Из прямоугольного треугольника BDD₁ (т.к. DD₁ перпендикулярно плоскости основания) получаем 
5) Из прямоугольного треугольника ВНК находим 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: NeoFamily