Задание №17921 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) В треугольнике  отрезок — медиана, при этом  значит, треугольник прямоугольный с прямым углом  Прямая  лежит в плоскости верхнего основания правильной призмы, следовательно,  — проекция наклонной на плоскость  тогда по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах,   значит, 

б) Прямая  перпендикулярна плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости:   Значит, высота треугольника — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и , а его длина и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми и .
В прямоугольном треугольнике    по теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора 
 откуда  

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)