Задание №38064 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть - центр основания пирамиды Через точку проведём прямую параллельную прямой Прямая перпендикулярна поэтому по теореме о трёх перпендикулярах прямая m перпендикулярна
В треугольнике опустим высоту на сторону Тогда плоскость, проходящая через прямые и - это искомая плоскость так как она перпендикулярна прямой по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Обозначим точки пересечения прямой с прямыми и соответственно и Пусть прямая пересекает ребро в точке а прямая пересекает ребро в точке Четырёхугольник - искомое сечение.
Пусть  тогда  Треугольник - равносторонний, поэтому высота DM является в нём также и медианой, поэтому - середина
б) Обозначим точку пересечения высоты пирамиды с плоскостью Точка лежит в плоскости так как прямая содержится в этой плоскости.

В треугольнике из вершины опустим перпендикуляр на сторону

Прямая перпендикулярна плоскости в которой лежит поэтому является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых и

Треугольник является равносторонним, поэтому  Отсюда получаем, что

Найдём высоту треугольника

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 3

Источник: Сборник И.В. Ященко