Задание №15410 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)  Чтобы доказать перпендикулярность прямых, можно доказать перпендикулярность одной прямой к плоскости, в которой лежит другая прямая. Рассмотрим треугольники SBC и АВС. Они равны по трем сторонам. Они являются равнобедренными и имеют общее основание. Проведем медианы SH и AH к этому основанию. Они попадут в одну точку точку H, которая является серединой ВС и будут являться высотами данных треугольников. Тогда прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASH, а значит, и всей этой плоскости. В этом случае прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASH. А значит перпендикулярна прямой SA.

б)  Чтобы найти расстояние пежду прямыми, необходимо найти длину перпендикуляра к обеим этим прямым. Для начала построим этот перпендикуляр и докажем, что он является искомым расстоянием. Опустим высоту HN треугольника ASH. По построению HN⊥SA, но так как прямая BC перпендикулярна любой прямой в плоскости ASH, она в том числе перпендикулярна прямой HN. Но эти прямые взаимноперпендикулярны, поэтому HN⊥SA и HN⊥BC. Значит HN является искомым расстоянием.

Треугольник ASH является равнобедренным, тогда HN в том числе является медианой. HN найдем из прямоугольного треугольника HNS. Для этого необходимо найти отрезок SH. Его найдем из треугольника SHB по теореме Пифагора  Тогда 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)