Задание №38498 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение.
Любое натуральное трехзначное число abc можно записать в виде: 

а) Запишем отношение трехзначного числа к сумме его цифр:


откуда
Подберем цифры чтобы выполнялось это равенство. Например, при  имеем:



Здесь только один вариант:  Получаем трехзначное число 102, которое при делении на сумму цифр дает 34.

б) Рассуждаем аналогично. Из равенства при  имеем:


Какое бы значение c мы ни взяли, не получим целого значения для b.
Проверим при (второй крайний случай):


Здесь также нет ни одного значения  которое бы приводило к целым значениям

в) Первая цифра натурального трехзначного числа Получаем выражение для отношения:

Отсюда видно, чтобы это выражение было минимальным, цифра должна быть как можно меньше, а – как можно больше. Будем действовать полным перебором, начиная с и  Получаем наименьшее значение 26 при цифрах:

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 26

Источник: Сборник И.В. Ященко