Задание №38377 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Число 1285 подойдет:

б) Разберем несколько случаев:
- Если в числе  есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.
- Если в числе  есть цифра 1, то есть два варианта:
1) В числе нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы  что больше наибольшей суммы цифр, равной 
2) В числе  есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем  а сумма цифр не больше чем  И в этом случае произведение больше суммы.
- Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны, их произведение равно хотя бы а сумма не больше  Значит, неравенство выполнено.
Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все цифры различны и нет цифры 0. Их так как первую цифру можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой - значит, выбрать ее есть 8 способов, и так далее.

в) Очевидно, что если при каких-то  и число  - наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.
Будем перебирать значения Так как  - двузначное число, то  Начнем перебор.
- Если  то делится на 11. Такое невозможно, так как  - цифры.
- Если то делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности где   Тогда имеем:



Значит,  и  должны быть степенями двойки. Но  следовательно,  поэтому  равняется 1 или 2. Также,  следовательно,  поэтому  равняется 1, 2 или 4. Таким образом,

Противоречие.
- Если то делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как  - цифры.
На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно а сумма цифр равна:

Тогда

Значит, наибольшее число при котором  равно 9885.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да (например, число 2235); б) 3024; в) 9885 (k = 96) 

Источник: Сборник И.В. Ященко