Задание №38358 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Нам нужно, чтобы произведение цифр было больше суммы в три раза:

Будем подбирать числа. Поскольку справа у меня стоит 3, то возьмем эту цифру. Пусть Тогда:


И подбираем дальше. Если получим где-то противоречие (допустим одна цифра вылезет больше 9), то меняем цифры.

Получили число 3126. Проверим его.


Число найдено может.

б) Все цифры должны быть разные и произведение должно быть меньше суммы.
Чтобы произведение было меньше, возьмем один из множителей равный нулю. Два, или три множителя равные нулю мы взять не сможем, так как все цифры разные.
Это может быть b, с или d (а по условию не равно нулю).

a	b	c	d
		Цифра, не равная а	Цифра, не равная а и с
9 вариантов	1 вариант	8 вариантов	7 вариантов

Всего вариантов такого перебора:

Теперь, если мы возьмем то варианты будут такие же.

а	b	с	d
	Цифра, не равная а	0	Цифра, не равная а и с
9 вариантов	8 вариантов	1 вариант	7 вариантов

Также всего 504 варианта.
И если мы возьмем также получим 504 варианта.
Всего вариантов для трех случаев:
Если не брать нули, то минимальное такое число равно 1234.
Сумма цифр произведение
Условие не выполняется. Соответственно, если увеличивать цифры, то и размах будет больше.

в) 
Нам нужно найти наибольшее двузначное k, от него уже определим число.
Если
Разложим 99 на множители:
Один из множителей 11, значит, произведение цифр слева должно быть кратно 11, что невозможно (так как цифры - набор от 0 до 9).
Если 

Проверим этот вариант:

Чтобы семерки сократились, нужно, чтобы, например, а и



или 
нет корней;
- не цифра;
- не цифра;
не целое число;
- не цифра;
не целое число;
не целое число;
не целое число.
Если
(Простое число. Не подходит).
Если

Проверим этот вариант.
Пусть






Получаем ситуацию с 98. Попробуем 






Подбираем:
нет подходящих вариантов;
 




Пусть 






или 




Получаем число 8985 для  но нам нужно собрать наименьшее число (просто переставим цифры местами. Наименьшим будет 5889).

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да (например, число 1236); б) 1512; в) 5889 (k = 96) 

Источник: Сборник И.В. Ященко