Задание №38110 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть количество чисел первого набора будет х, а количество чисел второго набора будет у шт. Запишем математически среднее арифметическое всех чисел двух наборов:

Выразим х через у.




Теперь перейдем к пункту а). Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
Запишем,

Заменим  получаем:

Умножим левую и правую части уравнения на 




Таким образом, среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть
равно 71. Ответ в пункте а) да.

б) Переходим к пункту б). Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
Действуем так же, как в пункте а), только заменим n на m.

Подставляем 

Умножим правую и левую части на 



Нет такого натурального числа m, чтобы Ответ в пункте б) нет.

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшили на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?Возможны два варианта:
1) увеличили на k каждое число первого набора и уменьшили на k каждое число второго набора;
2) увеличили на k каждое число второго набора и уменьшили на k каждое число первого набора.
Рассмотрим каждый случай. Начнем с первого. В этом случае

Умножим на

По условию задачи среднее арифметическое может принимать только положительные значения, это означает, что в выражении  число k должно делиться на 25. С учетом того, что это числа 25, 50, 75, 100, 125. Подставляя их в выражение получим значения среднего арифметического 89, 100, 111, 122, 133.
Теперь рассмотрим второй случай «увеличили на k каждое число второго набора и уменьшили на k каждое число первого набора». При этом
Среднее арифметическое в этом случае:

В этом случае есть только одно возможное значение И среднее арифметическое будет
Ответ в пункте в) 67, 89, 100, 111, 122, 133.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 67, 89, 100, 111, 122, 133 

Источник: Сборник И.В. Ященко