Задание №38091 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Да, может, например:

Предисловие для б) и в):
Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно то наименьшее число из набора меньше, чем  При этом, среди его простых делителей не должно встречаться чисел, отличных от простых делителей  Чтобы воспользоваться этим фактом в пунктах б) и в), выпишем, какие простые делители есть у двузначных чисел от 10 до 24:

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа:

б) Будем считать, что  - различные двузначные числа и 
Пусть  Тогда

Тогда или ~
- Пусть  Тогда и  обязаны быть степенями тройки, иначе либо степень вхождения двойки в произведение  будет более 4, либо в нем появится множитель, отличный от 2 и 3. Но среди двузначных чисел есть всего два числа, которые равны степени тройки: 27 и 81. Тогда 
- Пусть  Тогда

Заметим, что так как тогда степень вхождения 2 в  будет более 4. Значит,  не меньше 18.
Рассмотрим, чему может быть равно Оно больше 18. Если оно равно 19, 20, 21, 22, 23, 25 или 26, то в произведении  будут содержаться множители, отличные от 2 и 3. Также  не может быть равно  так как тогда степень вхождения 2 в  будет более 4. Следовательно,  не меньше 27. Тогда

Но  - противоречие. Тогда 
Таким образом, среднее геометрическое четырех различных двузначных чисел не может равняться 18.
На 20 есть пример:   Проверим его:

Значит,

в) Будем считать, что  - различные двузначные числа и 
- Пусть Тогда

 Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 3 - это 12, 16, 18, 24, 27 и 32. Сравним их произведение и 







Таким образом, 
- Пусть  Тогда

Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 5 - это 10, 16, 20, 25, 32 и 40. Сравним их произведение и 






Таким образом, 
- Пусть  Тогда

Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 11 - это 11, 16, 22, 32, 44 и 64. Сравним их произведение и 





Таким образом, среднее геометрическое шести различных двузначных чисел не может равняться 22.
На 24 есть пример:      Проверим его:

Значит,

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да (например, 24, 36 и 54); б) 20; в) 30

Источник: Сборник И.В. Ященко