Задание №37949 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Разложим число  на простые множители, получим

Пусть число - делитель числа Заметим, что у  не может быть простых делителей, которых нет в  так как если они есть, то  на  не поделится. Хорошо, пусть при этом, возможно,  для некоторых  Тогда, так как  - делитель числа то для любого  верно, что  Попробуем посчитать количество делителей числа  Для этого посчитаем, сколько есть наборов  которые подходят под наше условие. Выбрать  есть  вариант:  
Тогда делителей у числа ровно Теперь начнем решать пункты задачи.

а) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять два различных простых числа и возвести их в степени  и 
Трехзначное число подходит, так как у него  делителей.

б) Если число имеет делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять три различных простых числа и возвести их в степени  и 
Трехзначное число подходит, так как у него  делителей.

в) Докажем, что у числа  менее 5 различных простых делителей. Пусть это не так. Тогда

так как это 5 наименьших различных простых делителей. Значит, у 5 и более простых делителей быть не может.
Пусть у числа ровно 4 различных простых делителя. Если хотя бы 2 из них входят в число  в степени  то

а число трехзначное. Тогда в  входит не более одного простого в степени  Тогда 3 простых входят в  ровно в 1 степени. Поймем, что если одно простое входит в степени ровно 2, а остальные в степени 1, то всего делителей

Значит, наше простое входит в степени  Если оно входит в степени  то

чего не может быть. Значит, одно простое входит в степени 3, а остальные - в степени 1. Если степень 3 у простого числа, большего 2, то

значит такого не могло быть.
Если же степень 3 у двойки, то 
оно трехзначное, количество его делителей равно

Пусть у числа ровно 3 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за  Заметим, что:
1)  иначе общее количество делителей не более 
2)  иначе  
Тогда имеем:

3)  иначе  Откуда получаем, что  или 
Объединяя эти наблюдения, получаем следующее:
- Если то по наблюдению 2:
Тогда 
- Если то по наблюдению 2: 

Тогда 
Итого, получили, что единственный возможный вариант -   
Заметим, что 
и  Если же  не делится на 2, то

Поэтому подходит только

Пусть у числа  ровно 2 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за  Заметим, что  иначе

Переберем значения 
- Если  то

Тогда

- Если  то

Тогда

- Если  то

Тогда

Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.
- Если у ровно 1 простой делитель, то степень его вхождения хотя бы 29, но тогда очевидно, что  не трехзначное.
Таким образом, мы получили, что возможны только 2 варианта: 720, 840.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да (например, число 144); б) да (например, число 960); в) 720, 840 

Источник: Сборник И.В. Ященко