Задание №37753 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Нет, не существует.
- это целая часть числа х. Действительно тогда
Заметим, что всегда
Тогда для суммы дробей можно записать неравенство:



- не верно.

б) Да, существует.
Аналогично пункту а) запишем неравенство для суммы дробей:




Найдем при каком  выполняется равенство:




Проверим:



- верно.

в) Пусть - остатки от деления на 2, 3, 8 и 23 соответственно.
может быть равно: 0 или 1 (остаток при делении на 2, всего 2 остатка);
может быть равно: 0, 1, 2 (остаток при делении на 3,
всего 3 остатка);
может быть равно: 0, 1, 2, 3, 4, ... 7 (остаток при делении на 8, всего 8 остатков);
может быть равно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 22 (остаток при делении на 23, всего 23 остатка).
Тогда каждую из дробей можно записать в виде:

Т. е. от числа и отнимаем остаток и получаем числитель, делящийся нацело на 2, и получаем целую часть числа.
Аналогично и для других дробей подставим их:







Получаем, что все возможные различные натуральные  можно представить в данном виде, подставляя различные остатки.
Количество различных вариантов чисел равно произведению количества остатков:

Заметим, что при (для чётных ), или а при (для нечётных ), или Таким образом, количество возможных остатков получаем не а

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) нет; б) да; в) 552

Источник: Сборник И.В. Ященко