Задание №37623 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Любое натуральное трехзначное число можно записать в виде:

а) Запишем отношение трехзначного числа к сумме его цифр:


Откуда
Подберем цифры , чтобы выполнялось это равенство. Например, при имеем:


Здесь только один вариант:   Получаем трехзначное число 198, которое при делении на сумму цифр дает 11.

б) Рассуждаем аналогично. Из равенства при  имеем:


Какое бы значение мы ни взяли, не получим натуральное значение для
Проверим при (второй крайний случай):


Здесь также нет ни одного значения которое бы приводило к натуральным значениям

в) Первая цифра натурального трехзначного числа и оно не делится на 100, значит величины и не должны одновременно быть равными 0. Получаем выражение для отношения:
Будем действовать полным перебором, начиная с и  Получаем наибольшее значение 80 при цифрах:   

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 80

Источник: Сборник И.В. Ященко