Задание №16711 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Пусть Рома задумал цифру  а Паша – цифру  Не теряя общности, можно положить, что  Поскольку были задуманы цифры, и произведение не должно быть равно нулю,   Аня же вычисляет произведение 
а) Уравнение  не имеет решений в натуральных числах, поскольку правая часть нечетна, а левая четна для любых значений  и 
б) Уравнение также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде  499 простое число, следовательно, один из множителей левой части должен быть кратен 499, но это невозможно, поскольку по условию и  не больше 9.
в) Уравнение запишем в виде 
Заметим, что если из чисел хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая – нет. Следовательно, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а следовательно, он делится и на 9. Кроме того, так как 5 – простое число, один из сомножителей левой части делится на 5.
Поскольку  множители  не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится  либо Рассмотрим эти варианты.
Если  делится на 9, то  так как  В этом случае для делимости на 5 либо (тогда и - подходит), либо  - не подходит).
Если то для делимости на 5 либо - не подходит), либо  тогда - не подходит). 
Таким образом, имеем единственное решение: 

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) да, 5 и 4

Источник: NeoFamily