Задание №16021 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Свойства чисел

Раздел: Задачи на теорию чисел

19 линия

Не выполнено

Пусть Формула и — натуральные числа. Дробь будем называть «волшебной», если её можно представить в виде суммы нескольких различных дробей, в числителе каждой из которых стоит 1, а в знаменателе — некоторое натуральное число, или если Формула
а) Является ли дробь «волшебной»?
б) Сколько существует натуральных чисел m, для которых количество способов представить дробь в виде суммы «волшебных» дробей меньше 2023? Все дроби в отдельно взятой сумме должны быть различными, а суммы, отличающиеся друг от друга только порядком слагаемых, считаются одним способом.
в) Существует ли дробь с натуральным числителем и натуральным знаменателем, которая не является «волшебной»?

Решение:
а) Да, так как Формула

б) Формула Каждое из слагаемых в правой части можно разложить по тому же принципу сколько угодно раз. Если какие-то знаменатели начнут повторяться в сумме, то можно разложить одну из дробей с повторяющимся знаменателем снова, пока все дроби не станут различными. Таким образом, увеличивая число слагаемых, всякий раз можно добиться того, что в очередном способе каждый знаменатель строго больше любого знаменателя из предыдущих способов. Следовательно, количество способов разложить дробь Формула бесконечно и не может быть меньше 2023 ни для одной дроби.

в) Нет, не существует. Рассмотрим произвольную дробь вида Формула где

Тогда Формула (всего одинаковых слагаемых). Поочерёдно каждое из этих слагаемых, начиная со второго, будем раскладывать по принципу, указанному в пункте б до тех пор, пока каждый знаменатель в разложении не будет больше любого знаменателя в предыдущих разложениях и все знаменатели не станут различными.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) 0; в) нет

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)